Олимпиады по математике 10 класс
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Олимпиады по математике 10 класс.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Олимпиады по математике 10 класс




Олимпиады по математике 10 класс.


Задача.


В плоскости расположена прямая y
и прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=3; BC=4 .

Вершина C находится на расстоянии 10 от прямой y .
Угол между y и направлением катета AC равен α .

Надо определить угол α , при котором поверхность, полученная вращением треугольника ABC вокруг прямой y , будет наименьшей.

Решение:


Для начала найдём площадь поверхности полученного тела вращения.

Площадь боковой поверхности конуса,
образованного вращением CD , равна π· CD2 sinα .

Тогда площадь поверхности, образованной вращением отрезка AC вокруг оси y будет составлять

π CD2 sinα-π (CD-3)2 sinα=π sinα· (6CD-9)=π sinα((6· 10)/ sinα-9)(60-9 sinα) .

Угол между y и направлением катета BC равен 90o.
Теперь аналогично мы можем вычислить площадь поверхности, образованной вращением BC .
Она равна

π sin(α+90o)((8· 10)/( sin(α+90o))-16)(80-16 cosα) .

Осталось вычислить площадь поверхности, образуемой вращением отрезка AB .
Угол между прямой y и направлением отрезка AB равен α-β , где β= углу BAC .
Тогда sin(α-β)= sinα cosβ- sinβ cosα=3/5 sinα-4/5 cosα . Расстояние AAy равно 10-AC sinα=10-3 sinα .
Теперь мы можем вычислить искомую площадь. Она равна

π(10·(10-3 sinα)+25·(3/5 sinα-4/5 cosα))= π(100-15 sinα-20 cosα) .

Таким образом, площадь поверхности всей фигуры вращения треугольника ABC вокруг оси y равна

π(60-9 sinα+80-16 cosα+100-15 sinα-20 cosα)(240-12(2 sinα+3 cosα)) .

Отметим, что если бы точка A или B лежала по другую сторону от прямой, проходящей через вершину C параллельно прямой y , то формула для площади получилась бы другой.
Получились бы другие знаки слагаемых в формуле для площади поверхности тела вращения.
Однако все они сводятся к выведенной формуле, если позволить углу α изменяться от 0o до 360o .

Итак, минимум площади будет достигаться при максимуме выражения
2 sinα+3 cosα= sin(α+ϕ) , где вспомогательный угол
ϕ= arctg3/2 .
Это выражение достигает максимума при α+ϕ=π/2 .

Откуда α=π/2- arctg3/2= arctg2/3 .





Задача 1 :

Докажите, что уравнение  x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0  не имеет решений.

Задача 2 :

Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.

Задача 3 :

Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.

Задача 4 :

Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число
√2 + √3.

Задача 5 :

Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д.
Чему равен 2005-й член этой последовательности?





Решение задач :

Задача 1 :

Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0,   которое не имеет решений.

Задача 2 :

Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов. Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m. Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой, равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов, которое еще предстоит забить первой команде. Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

Задача 3 :

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения (2 – h)2 + x2 = R2,   (2y + h)2 + y2 = R2.  Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.

Задача 4 :

Обозначим √2 + √3 =a.
. Тогда a2 = 5 + 2√6.
, а  (a2 – 5)2 = (2√.
6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем многочлена
 x4 – 10x2 + 1.

Задача 5 :



  •    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант




  • Олимпиада по математике:

    Олимпиада по математике 1 класс
    Олимпиада по математике 2 класс
    Олимпиада по математике 3 класс
    Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
    Олимпиады 5 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 6 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 7 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 8 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 9 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 10 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 11 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


    Задачи по математике:

    Математика   1 класс
    Математика   2 класс
    Математика   3 класс
    Математика   4 класс
    Математика   5 класс
    Математика   6 класс
    Математика   7 класс
    Математика   8 класс
    Математика   9 класс
    Математика   10 класс


    Задачи с решением:

    Задачи 6 кл. с решением
    Задачи 7 кл. с решением
    Задачи 8 кл. с решением
    Задачи 9 кл. с решением
    Задачи 10 кл. с решением
    Задачи 11 кл. с решением
    Трудные задачи младшие классы
    Сложные задачи старшие классы


    Контрольные работы:

    1 класс:             №1    №2    №3
    2 класс:             №1    №2    №3
    3 класс:             №1    №2    №3
    4 класс:             №1    №2    №3
    5 класс:             №1    №2    №3
    6 класс:             №1    №2    №3
    7 класс:             №1    №2    №3
    8 класс:             №1    №2    №3


    Математика. Графики функций:

    Графики функций
    Линейная
    Квадратичная
    Степенная
    Показательная
    Логарифмическая
    Тригонометрическая


    Будь в числе первых!
    Открытая группа:
    Решение школьных олимпиад.
    Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




    Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
    ^Наверх^