Олимпиада по математике 10 класс
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Олимпиада по математике 10 класс.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Олимпиада по математике 10 класс




Олимпиада по математике 10 класс.


Задача с решением.


Две окружности O и O1 пересекаются в точке A .

Провести через точку A такую прямую,
чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O1 , был равен данному.

Решение:


Пусть задача решена.
Отрезок BC прямой, проходящей через точку пересечения двух окружностей A , равен данному отрезку a .

Опустим из центров окружностей O и O1 перпендикуляры OE и O1F на эту прямую.

Из центра O1 проведем прямую O1K , параллельную EF (смотри рисунок). EFO1K - прямоугольник,

KO1 = EF, EF = EA + AF, BE = EA, AF = FC , так как хорды делятся перпендикулярными к ним радиусами пополам.

Поэтому EF = BE + FC = a/2 .

Построение сводится к построению прямоугольного треугольника KOO1 по гипотенузе OO1 и катету KO1 = EF = a/2 .

Построив этот треугольник, проводим искомую прямую параллельно O1K через точку A или опускаем из точки A перпендикуляр на OK .

Поскольку по одну сторону от данного отрезка OO1 можно построить два равных симметричных прямоугольных треугольника, то задача имеет два решения.
Два решения будет и в том случае, когда получится только один равнобедренный треугольник, так как в этом случае его катеты равноправны и условию задачи будет удовлетворять перпендикуляр, опущенный на каждый из катетов.
Построение возможно, если возможно построение прямоугольного треугольника, т. е. если a/21 .

В случае a/2 = OO1 решение также возможно, но оно будет единственным.

Это будет прямая, проходящая через точку А параллельно линии центров.





Задача № 1 :

Назовем “соросовским произведением” двух различных чисел, a и b, число a + b + ab. Можно ли, исходя из чисел 1 и 4, после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям получить:
а) число 1999;
б) число 2000?

Задача № 2 :

На валютной бирже продаются динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T).
Биржевые игроки имеют право совершать сделку купли-продажи с каждой парой валют не более одного раза в день.
Курсы обмена следующие: D = 6G; D = 25R; D = 120T; G = 4R; G = 21T; R = 5T. Утром у игрока имелось 32 динара. Какое максимальное число
а) динаров;
б) талеров
он может получить к вечеру?

Задача № 3 :

Центр окружности, проходящей через середины всех сторон треугольника АВС, лежит на биссектрисе его угла С.
Найдите сторону АВ, если ВС = а, АС = b(a не равно b).

Задача № 4 :

Решите уравнение




Задача № 5 :

Известно, что существует прямая, делящая периметр и площадь некоторого описанного около окружности многоугольника в одном и том же отношении. Докажите, что эта прямая проходит через центр указанной окружности.

Задача № 6 :

Пусть a3 a 1 = 0. Найдите точное значение выражения




Задача № 7 :

Пусть прямая, перпендикулярная стороне AD параллелограмма ABCD, проходящая через точку В, пересекает прямую CD в точке M, а прямая, проходящая через точку В и перпендикулярная стороне CD, пересекает прямую AD в точке N.
Докажите, что прямая, проходящая через точку В перпендикулярно диагонали АС, проходит через середину отрезка MN.

Задача № 8 :

Возьмем на стороне ВС треугольника АВС произвольную точку D и проведем окружность через точку D и центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и АCD.
Докажите, что все окружности, полученные для различных точек D стороны ВС, имеют общую точку.


  •    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант




  • Олимпиада по математике:

    Олимпиада по математике 1 класс
    Олимпиада по математике 2 класс
    Олимпиада по математике 3 класс
    Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
    Олимпиады 5 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 6 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 7 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 8 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 9 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 10 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 11 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


    Задачи по математике:

    Математика   1 класс
    Математика   2 класс
    Математика   3 класс
    Математика   4 класс
    Математика   5 класс
    Математика   6 класс
    Математика   7 класс
    Математика   8 класс
    Математика   9 класс
    Математика   10 класс


    Задачи с решением:

    Задачи 6 кл. с решением
    Задачи 7 кл. с решением
    Задачи 8 кл. с решением
    Задачи 9 кл. с решением
    Задачи 10 кл. с решением
    Задачи 11 кл. с решением
    Трудные задачи младшие классы
    Сложные задачи старшие классы


    Контрольные работы:

    1 класс:             №1    №2    №3
    2 класс:             №1    №2    №3
    3 класс:             №1    №2    №3
    4 класс:             №1    №2    №3
    5 класс:             №1    №2    №3
    6 класс:             №1    №2    №3
    7 класс:             №1    №2    №3
    8 класс:             №1    №2    №3


    Математика. Графики функций:

    Графики функций
    Линейная
    Квадратичная
    Степенная
    Показательная
    Логарифмическая
    Тригонометрическая


    Будь в числе первых!
    Открытая группа:
    Решение школьных олимпиад.
    Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




    Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
    ^Наверх^