Олимпиады по математике 11 класс
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Олимпиады по математике 11 класс.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Олимпиады по математике 11 класс




Олимпиады по математике 11 класс.


Задача

Решите уравнение:

(x3 – 2)(2sin x – 1) + (2x3 – 4) sin x = 0.



Решение

Из того, что функция y = 2t возрастает, следует:

1) Если sin x > 0 ,     то     2 sin x - 1 > 0 ;
если sin x < 0 ,     то      2 sin x - 1 < 0 .

2) Если x3 - 2 > 0 ,     то     2x3 - 4 > 0 ;
если x3 - 2 < 0 ,     то      2x3 - 4 < 0 ;

Следовательно, если
(x3 - 2)(2 sin x - 1) > 0 ,     то     (2x3 - 4) sin x > 0 ;
если (x3-2)(2 sin x - 1) < 0 ,     то     (2x3 - 4) sin x < 0 ;

то есть знаки выражений

(x3 - 2)(2 sin x - 1) и (2x3 - 4) sin x совпадают.

Поэтому, каждое слагаемое в левой части уравнения должно обращаться в нуль,
то есть данное уравнение равносильно совокупности:

x3 = 2 или sin x = 0 .

Ответ

{} U {πn | n Z.}.




Задача 1 :

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Задача 2 :

Решите уравнение     sin44x + cos2x = 2sin4x х cos4x.

Задача 3 :

Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Задача 4 :

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

Задача 5 :

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.




Решение задач :


Задача 1 :

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3.
Тогда n
(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( 2   + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2  + 3n)2 + 2(n2  + 3n) + 1 = (n2  + 3n + 1)2.

Задача 2 :

Перенесем в левую часть  2sin4· cos4x и прибавим и вычтем по cos8x.
В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду

(sin4x – cos4x)2 + cos2x(1 – cos6x) = 0,
которое равносильно следующей системе:


Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk .

Задача 3 :

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за
1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Задача 4 :

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к. (1/x)' = -1/(x2), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х02)(x - х0) + 1/х0.

Касательная с уравнением пересекает ось абсцисс в точке (х1;0);  
 
х1 можно определить из уравнения -1/(х02)(x - х0) + 1/х0= 0.
Решая данное уравнение, получим
х1 = 2х0.
Точка (0;
y1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение значения х = 0.
В итоге получим
y2 = 2/х0.
Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины  а = 2|х
0| и b = 2 / |х0|. Площадь данного треугольника равна 2.

Задача 5 :

Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек.
Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений,
в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1.
А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50).
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1,
т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число.
А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.



  • 1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант




  • Олимпиада по математике:

    Олимпиада по математике 1 класс
    Олимпиада по математике 2 класс
    Олимпиада по математике 3 класс
    Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
    Олимпиады 5 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 6 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 7 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 8 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 9 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 10 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 11 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


    Задачи по математике:

    Математика   1 класс
    Математика   2 класс
    Математика   3 класс
    Математика   4 класс
    Математика   5 класс
    Математика   6 класс
    Математика   7 класс
    Математика   8 класс
    Математика   9 класс
    Математика   10 класс


    Задачи с решением:

    Задачи 6 кл. с решением
    Задачи 7 кл. с решением
    Задачи 8 кл. с решением
    Задачи 9 кл. с решением
    Задачи 10 кл. с решением
    Задачи 11 кл. с решением
    Трудные задачи младшие классы
    Сложные задачи старшие классы


    Контрольные работы:

    1 класс:             №1    №2    №3
    2 класс:             №1    №2    №3
    3 класс:             №1    №2    №3
    4 класс:             №1    №2    №3
    5 класс:             №1    №2    №3
    6 класс:             №1    №2    №3
    7 класс:             №1    №2    №3
    8 класс:             №1    №2    №3


    Математика. Графики функций:

    Графики функций
    Линейная
    Квадратичная
    Степенная
    Показательная
    Логарифмическая
    Тригонометрическая


    Будь в числе первых!
    Открытая группа:
    Решение школьных олимпиад.
    Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




    Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
    ^Наверх^