Олимпиадные задания по математике 7 класс
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Олимпиадные задания по математике 7 класс.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Олимпиадные задания по математике 7 класс




Олимпиадные задания по математике 7 класс.


Задача 1


Последовательность строится по следующему закону.
На первом месте стоит число 7,
далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1.
Какое число стоит на 2000 месте?


Решение:


Вычислим несколько первых членов последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5; … — число 5 повторилось.
Значит, у последовательности есть период длины 3: числа 5; 8; 11 далее будут повторяться.
На пятом месте — пятерка, тогда для любого k > 0 на (3k + 2)-м месте также будет пятерка.

Так как 2000 = 3 x 666 + 2,
то 2000-м месте стоит число 5.




Задача 2


Дан параллелограмм OACB.
Проведена прямая, отсекающая четверть стороны OA и треть стороны OB, считая от вершины O.
Какую часть эта прямая отсекает от диагонали OC?


Решение:


Пусть OA = y, OC = x, OB = z.
Проведем прямые, параллельные уже проведенной: через точки B, A, а также прямую, параллельную данной и отсекающие такие же отрезки, как в условии, от противоположных сторон.

Используя теорему Фалеса, несложно доказать, что эти прямые (вместе с данной) разбивают диагональ на отрезки x, 2x, x, 2x, x (начиная от вершины O).
Отсюда x = OC / 7.




Задача 3


Решите в натуральных числах уравнение
zx + 1 = (z + 1)2.


Решение:


При x = 1 или z = 1 уравнение решений не имеет.

Раскроем скобки и преобразуем равенство к виду z (zx–2 – 1) = 2.

Так как z и x не меньше 2, то левая часть уравнения неотрицательна.

При x = 2 корней нет.

При x ? 3 левая часть положительна, а если при этом z ? 3, то левая часть уравнения будет больше правой (также нет корней).

Остается случай z = 2, тогда x = 3.




Задача № 1 :

Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.

Задача № 2 :

Найти натуральное число A , если из трех следующих утверждений два верны, а одно -- неверно:
а) A+51 есть точный квадрат,
б) последняя цифра числа A есть единица,
в) A-38 есть точный квадрат.

Задача № 3 :

В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Задача № 4 :

Дан угол и точка M внутри него. Провести прямую через эту точку так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился данной точкой пополам.

Задача № 5 :

Можно ли замостить шашечную доску 10 * 10 плитками 4 * 1 ?

Задача № 6 :

Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?




Решения задач:

Задача № 1 :.


3025 = 552.

Задача № 2 :.


Как сказано в условии задачи, одно из этих утверждений является ложным. В первую очередь на себя обращает внимание условие б). Если последняя цифра равна 1, то условие а) не верно, так как нет точных квадратов оканчивающихся на 2, условие в) тоже не может быть верным, так как в этом случае последняя цифра равна 3 и таких точных квадратов нет. Следовательно, если условие б) верно, то условия а) и в) являются не верными, что не подходит по условию задачи (должно быть два верных и одно неверное утверждение из этих трех). Следовательно условие б) должно быть ложным, а а) и в) - истинными.

Теперь осталось разобраться с квадратами. В условиях а) и в) сказано, что A + 51 и A - 38 являются полными квадратами. Эти квадраты не обязательно могут быть соседними. Можно легко показать, что если два числа отличаются на число K, то разность их квадратов делится на это число K тоже. В нашем случае разность квадратов равна 89 и это число простое, следовательно эти числа могут отличаться только на 1 или 89. Последний вариант очевидно не подходит, а проверка первого варианта приводит к ответу A = 1974.

Ответ: A = 1974.


Задача № 3 :.


Можно. Решается методом от противного.


Задача № 4 :.


Сделать точку M центром параллелограмма.

(здесь будет рисунок)


Задача № 5 :.


Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рисунке (цифры --- номера цветов). Тогда каждая фишка замостит четыре клетки со всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в первый цвет, --- 25, во второй --- 26, в третий --- 25, в четвертый --- 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.


Задача № 6 :.


37, 5 км/ч.



  
  • 1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант




  • Олимпиада по математике:

    Олимпиада по математике 1 класс
    Олимпиада по математике 2 класс
    Олимпиада по математике 3 класс
    Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
    Олимпиады 5 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 6 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 7 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 8 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 9 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 10 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 11 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


    Задачи по математике:

    Математика   1 класс
    Математика   2 класс
    Математика   3 класс
    Математика   4 класс
    Математика   5 класс
    Математика   6 класс
    Математика   7 класс
    Математика   8 класс
    Математика   9 класс
    Математика   10 класс


    Задачи с решением:

    Задачи 6 кл. с решением
    Задачи 7 кл. с решением
    Задачи 8 кл. с решением
    Задачи 9 кл. с решением
    Задачи 10 кл. с решением
    Задачи 11 кл. с решением
    Трудные задачи младшие классы
    Сложные задачи старшие классы


    Контрольные работы:

    1 класс:             №1    №2    №3
    2 класс:             №1    №2    №3
    3 класс:             №1    №2    №3
    4 класс:             №1    №2    №3
    5 класс:             №1    №2    №3
    6 класс:             №1    №2    №3
    7 класс:             №1    №2    №3
    8 класс:             №1    №2    №3


    Математика. Графики функций:

    Графики функций
    Линейная
    Квадратичная
    Степенная
    Показательная
    Логарифмическая
    Тригонометрическая


    Будь в числе первых!
    Открытая группа:
    Решение школьных олимпиад.
    Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




    Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
    ^Наверх^