Олимпиады по математике с решением 8 класс
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Олимпиады по математике с решением 8 класс.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Олимпиады по математике с решением 8 класс




Олимпиады по математике с решением 8 класс.


Задача.


Указать все денежные суммы, выраженные целым числом рублей,
которые могут быть представлены как чётным, так и нечётным числом денежных билетов достоинством в
1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.



Решение 1:


Предположим сначала, что мы имеем денежную сумму в 10 рублей или больше.
Покажем, что любая такая сумма может быть представлена как чётным, так и нечётным количеством денежных билетов.
Именно, любая чётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, чётным числом билетов достоинством в 1 рубль, а с другой одним билетом в 10 рублей и ещё чётным числом билетов по одному рублю.
Точно так же, любая нечётная денежная сумма (в 10 рублей или более) представляется, с одной стороны, нечётным числом билетов по одному рублю, а с другой одним билетом в 10 рублей и ещё нечётным числом билетов по одному рублю.
Рассмотрим теперь денежные суммы, меньшие 10 рублей.
Для представления этих сумм в нашем распоряжении имеются лишь билеты достоинством в 1, 3, 5 рублей все нечётные.
Понятно, что нечётное число "нечетных" билетов могут составить лишь нечётную сумму; следовательно, никакую чётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить нечётным числом билетов.
Аналогично, чётное число "нечетных" билетов могут составить лишь чётную сумму; следовательно, никакую нечётную сумму, меньшую 10 рублей, нельзя представить чётным числом билетов.


Решение 2:


Все суммы, не меньшие 10 руб., можно оплатить десятирублёвыми и рублёвыми купюрами, причём обязательно использовав десятирублевку.
Если при этом получится чётное число купюр, то одну десятирублёвую бумажку можно заменить двумя купюрами по 5 руб., т. е. эту сумму можно оплатить и нечётным числом купюр.
То же можно сказать, если сначала имеем нечётное число купюр.
Для выплаты сумм, меньших 10 руб., имеются купюры в нечётное число рублей.
Поэтому эти суммы можно выплатить лишь одним способом: чётную сумму чётным, а нечётную нечётным числом купюр.




Задача № 1.

Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6.
Докажите что и n делится на 6.

Решение:

Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6.



Задача № 2.

Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов.
Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася.
На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков.
Куда попал каждый из них третьим выстрелом?
Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Решение:

Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30).
Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2 + 3 + 4 = 9.
Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет).
Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка.
При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка.
Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася.
Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков.




Задача № 3.

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково).
Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством.
Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.

Решение:

Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.
пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.
Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.




Задача № 4.

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны.
Докажите, что AD + BC = AB + CD.

Решение:

Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок. Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG . Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL. Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то угол AHD = углу CGM , следовательно, AD = CM. В силу неравенства треугольника BC + CM = BC + AD . Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC + CL = DC + AB.
Следовательно, AD + BC, DL = DC + CL = DC + AB, что и требовалось доказать.




  • 1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант




  • Олимпиада по математике:

    Олимпиада по математике 1 класс
    Олимпиада по математике 2 класс
    Олимпиада по математике 3 класс
    Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
    Олимпиады 5 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 6 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 7 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 8 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 9 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 10 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 11 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


    Задачи по математике:

    Математика   1 класс
    Математика   2 класс
    Математика   3 класс
    Математика   4 класс
    Математика   5 класс
    Математика   6 класс
    Математика   7 класс
    Математика   8 класс
    Математика   9 класс
    Математика   10 класс


    Задачи с решением:

    Задачи 6 кл. с решением
    Задачи 7 кл. с решением
    Задачи 8 кл. с решением
    Задачи 9 кл. с решением
    Задачи 10 кл. с решением
    Задачи 11 кл. с решением
    Трудные задачи младшие классы
    Сложные задачи старшие классы


    Контрольные работы:

    1 класс:             №1    №2    №3
    2 класс:             №1    №2    №3
    3 класс:             №1    №2    №3
    4 класс:             №1    №2    №3
    5 класс:             №1    №2    №3
    6 класс:             №1    №2    №3
    7 класс:             №1    №2    №3
    8 класс:             №1    №2    №3


    Математика. Графики функций:

    Графики функций
    Линейная
    Квадратичная
    Степенная
    Показательная
    Логарифмическая
    Тригонометрическая


    Будь в числе первых!
    Открытая группа:
    Решение школьных олимпиад.
    Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




    Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
    ^Наверх^