Олимпиадные задания по математике 9 класс с решением
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Олимпиадные задания по математике 9 класс с решением.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Олимпиадные задания по математике 9 класс с решением




Олимпиадные задания по математике 9 класс с решением.


Решение олимпиадных задач.


Задача.


На окружности отмечены 2012 точек,
делящих её на равные дуги.
Из них выбрали k точек и
построили выпуклый k-угольник с вершинами в выбранных точках.
При каком наибольшем k могло оказаться,
что у этого многоугольника нет параллельных сторон?



Решение


Пусть  A1, A2, , A2012  – отмеченные точки в порядке обхода
(будем считать, что  A2013 = A1A2014 = A2).
Разобьём их на четвёрки

(A1, A2, A1007, A1008),  (A3, A4, A1009, A1010),  ...,  (A1005, A1006, A2011, A2012).

Если среди выбранных k точек
встретятся все точки некоторой четвёрки

(A2i–1, A2i, A2i+1005, A2i+1006),

то в полученном многоугольнике найдутся две стороны

A2i–1A2i и A2i+1005A2i+1006,

которые симметричны относительно центра окружности и потому параллельны.

Значит, в каждой из 503 четвёрок будет отмечено не более трёх вершин,
то есть  k ≤ 503· 3 = 1509.

Пример 1509-угольника без параллельных сторон с вершинами в отмеченных точках:

A1A2...A1006A1008A1010... A2012

(вершинами являются все точки с номерами от 1 до 1006 и все точки с чётными номерами от 2008 до 2012).

Действительно, стороны
A2012A1, A1A2, ..., A1005A1006
лежат по одну сторону от диаметра
A2012A1006
и потому не параллельны; аналогично, стороны
A1006A1008, ..., A2010A2012
попарно не параллельны.

Наконец, малая диагональ
AjAj+2
правильного 2012-угольника не параллельна его сторонам;
значит, никакие две стороны вида
AiAi+1 и AjAj+2
также не могут быть параллельными.

Ответ

При  k = 1509.





Решение олимпиадных задач.


Задача № 1 :

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Задача № 2 :

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача № 3 :

Решите неравенство :     

Задача № 4 :

Решите уравнение :      x2 + 2005x – 2006 = 0.

Задача № 5 :

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?



Решение задач :

Задача № 1 :

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что треуг-к АСМ - равносторонний. Но это значит, что треуг-к АОD и треуг-к ВОС - тоже равносторонние.


Отсюда непосредственно следует, что треуг-к АОВ = треуг-к СОD, откуда имеем, что AB = CD.





Задача № 2 :

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k - 1 в сосудах было по 12 л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по 12 л воды.


Задача № 3 :

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Задача № 4 :

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача № 5 :

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.


  •    1 вариант       |       2 вариант       |       3 вариант




  • Олимпиада по математике:

    Олимпиада по математике 1 класс
    Олимпиада по математике 2 класс
    Олимпиада по математике 3 класс
    Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
    Олимпиады 5 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 6 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 7 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 8 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 9 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 10 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
    Олимпиады 11 класс
           1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


    Задачи по математике:

    Математика   1 класс
    Математика   2 класс
    Математика   3 класс
    Математика   4 класс
    Математика   5 класс
    Математика   6 класс
    Математика   7 класс
    Математика   8 класс
    Математика   9 класс
    Математика   10 класс


    Задачи с решением:

    Задачи 6 кл. с решением
    Задачи 7 кл. с решением
    Задачи 8 кл. с решением
    Задачи 9 кл. с решением
    Задачи 10 кл. с решением
    Задачи 11 кл. с решением
    Трудные задачи младшие классы
    Сложные задачи старшие классы


    Контрольные работы:

    1 класс:             №1    №2    №3
    2 класс:             №1    №2    №3
    3 класс:             №1    №2    №3
    4 класс:             №1    №2    №3
    5 класс:             №1    №2    №3
    6 класс:             №1    №2    №3
    7 класс:             №1    №2    №3
    8 класс:             №1    №2    №3


    Математика. Графики функций:

    Графики функций
    Линейная
    Квадратичная
    Степенная
    Показательная
    Логарифмическая
    Тригонометрическая


    Будь в числе первых!
    Открытая группа:
    Решение школьных олимпиад.
    Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




    Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
    ^Наверх^