Задачи по математике 11 класс
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Задачи по математике 11 класс.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Задачи по математике 11 класс




Задачи по математике 11 класс.


Задача 1.


О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой,
известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой.
Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.


Решение:

Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:

  • (1) сумма и разность непрерывных функций - непрерывные функции;

  • (2) если g(x) - непрерывная функция, функция g(ax) также непрерывна.


Теперь заметим, что по условию непрерывны функции f(x) + f(2x) и f(x) + f(4x), а в силу свойства (2) вместе с функцией f(x) + f(2x) непрерывна и функция f(2x) + f(4x).
Далее, по свойству (1) непрерывна функция (f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) – (f(2x) + f(4x)) = 2f(x), а, значит, и функция f(x).




Задача 2.


В классе каждый ученик - либо болтун, либо молчун,
причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей - молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так,
чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.


Решение:

Докажем утверждение индукцией по числу n учеников в классе.
Для n = 3 утверждение очевидно.
Предположим, что оно верно при n ≤ N. Пусть n = N + 1.
Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не менее двух.
Выделим молчуна A и его друзей - болтунов B1, … ,Bk.
Для оставшихся n – 1 – k учеников утверждение верно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун дружит с нечётным числом молчунов и в M входит не менее


учеников.

Предположим, что болтуны B1, … ,Bm дружат с нечётным числом молчунов из M, а Bm + 1, … ,Bk - с чётным числом.

Тогда, если
,

то добавим к группе M болтунов B1, … ,Bm,

а если ,

то добавим к группе M болтунов Bm + 1, … ,Bk и молчуна A.
В обоих случаях мы получим группу учеников, удовлетворяющую условию задачи.




Задача 3.


Многогранник описан около сферы.
Назовём его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань.
Докажите, что больших граней не больше 6.


Решение:

Пусть R - радиус шара.
Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием - проекция шара на эту грань.
Указанная часть сферы является «сферической шапочкой» (то есть частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты

.


По известной формуле площадь такой «шапочки» равна

.

Так как указанные «шапочки» не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы.
Обозначив количество больших граней через n, получим

,

то есть
.


Решение заканчивается проверкой того, что
.






Задача 4.


Существуют ли действительные числа a, b и c такие,
что при всех действительных x и y выполняется неравенство
|x + a| + |x + y + b| + |y + c|  >  |x| + |x + y| + |y| ?


Решение:

Ответ: Нет.
Предположим, что такие числа a, b и c существуют.
Выберем x > 0 и y > 0 такие, что x + a ≥ 0, x + y + b ≥ 0, y + c ≥ 0.
Тогда разность между левой и правой частями равна a + b + c.
А если взять x < 0 и y < 0 такие, что x + a < 0, x + y + b < 0, y + c < 0,
то эта разность будет равна  – a – b – c.
Таким образом, с одной стороны, a + b + c > 0, с другой a + b + c < 0.
Противоречие.




Задача 5.


Клетки квадрата 50 × 50 раскрашены в четыре цвета.
Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (то есть сверху, снизу, слева и справа)
имеются клетки одного с ней цвета.


Решение:

Предположим, что клетки квадрата n × n удалось раскрасить таким образом, что для любой клетки с какой-то стороны от неё нет клетки одного с ней цвета.
Рассмотрим тогда все клетки одного цвета и в каждой из них нарисуем стрелочку в том из четырёх направлений, в котором клетки того же цвета нет.
Тогда на каждую клетку «каёмки» нашего квадрата будет указывать не более одной стрелки.
Так как клеток каёмки всего 4n – 4, то и клеток каждого цвета не более 4n – 4.
С другой стороны, каждая из n² клеток нашего квадрата раскрашена в один из четырёх цветов, то есть n² ≤ 4(4n – 4).
Для решения задачи теперь достаточно заметить, что последнее неравенство неверно при n = 50.
Несложно убедиться, что оно неверно при всех n ≥ 15, и, следовательно,
утверждение задачи верно уже в квадрате 15 × 15 - а заодно и в любом большем квадрате.




Задача 6.


Для бесконечного множества значений многочлена,
существует более одной целой точки, в которой принимаются эти значения.
Докажите, что существует не более одного целого значения многочлена,
принимаемого ровно в одной целой точке.


Решение:

Из условия следует, что многочлен имеет ненулевую степень.
Докажем, что данный многочлен P(x) имеет чётную степень, а его график имеет вертикальную ось симметрии.
Не умаляя общности, мы можем считать старший коэффициент многочлена P(x) положительным
(иначе многочлен можно заменить на  – P(x)).
Если P(x) имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по абсолютной величине x он возрастает, и, следовательно, может принимать более чем в одной целой точке лишь конечное число значений.
Поэтому степень P(x) чётна.
Тогда при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x - убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды.
Упорядочим эти значения: a1 < a2 <  …  - и обозначим xk больший, а yk - меньший прообраз ak.
Таким образом, P(xk) = P(yk) = ak.
Мы докажем, что при достаточно больших k сумма xk + yk постоянна.
Для этого рассмотрим два старших коэффициента P(x): P(x) = axn + bxn – 1 +  … 
Тогда



(многоточия скрывают члены не выше (n – 2)-й степени; кроме того, мы воспользовались чётностью n).
Заметим, что коэффициенты при xn у многочленов P(x) и P(c – x) совпадают; что же до коэффициентов при xn – 1, то существует единственное значение c (а именно c0 =  – 2b/(an)), при котором совпадают и они.
Если c > c0, то P(x) – P(c – x) - многочлен степени n – 1 с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk < c0 + 0.1 (иначе будет P(yk) > P(c0 + 0.1 – xk) > P(xk)). Если, наоборот, c < c0, то P(x) – P(c – x) - многочлен степени n – 1 с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk > c0 – 0.1. Но xk + yk - целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны: xk + yk = c.

Но тогда многочлены P(x) и P(c – x) совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак P(x) – P(c – x) должен совпадать со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди xk есть сколь угодно большие числа, и для них P(c – xk) = P(yk) = P(xk).)
Итак, P(x) = P(c – x) при всех вещественных x.
Тогда любое значение, принимаемое в целой точке x ≠ c/2, принимается и в точке c – x ≠ x.
Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке - это P(c/2), да и то, если только c/2 – целое.





Олимпиада по математике:

Олимпиада по математике 1 класс
Олимпиада по математике 2 класс
Олимпиада по математике 3 класс
Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
Олимпиады 5 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 6 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 7 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 8 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 9 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 10 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 11 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


Задачи по математике:

Математика   1 класс
Математика   2 класс
Математика   3 класс
Математика   4 класс
Математика   5 класс
Математика   6 класс
Математика   7 класс
Математика   8 класс
Математика   9 класс
Математика   10 класс


Задачи с решением:

Задачи 6 кл. с решением
Задачи 7 кл. с решением
Задачи 8 кл. с решением
Задачи 9 кл. с решением
Задачи 10 кл. с решением
Задачи 11 кл. с решением
Трудные задачи младшие классы
Сложные задачи старшие классы


Контрольные работы:

1 класс:             №1    №2    №3
2 класс:             №1    №2    №3
3 класс:             №1    №2    №3
4 класс:             №1    №2    №3
5 класс:             №1    №2    №3
6 класс:             №1    №2    №3
7 класс:             №1    №2    №3
8 класс:             №1    №2    №3


Математика. Графики функций:

Графики функций
Линейная
Квадратичная
Степенная
Показательная
Логарифмическая
Тригонометрическая


Будь в числе первых!
Открытая группа:
Решение школьных олимпиад.
Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^