Задачи по математике 9 класс
         Олимпиада по математике: задания, решения и ответы на портале 4egena100

Задачи по математике 9 класс.           Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Олимпиады по математике с решением и ответами



Задачи по математике 9 класс




Задачи по математике 9 класс.


Задача 1.


По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N (N ≥ 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра.
Найдите наименьшее возможное значение N.


Решение:

Ответ: 29.
Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N > 9.
А так как числа, соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из них не может быть меньше, чем 19, а большее - меньше, чем 29.
Следовательно, N ≥ 29.

Равенство N = 29 возможно, поскольку условиям задачи удовлетворяет, например, такой порядок расстановки чисел от 1 до 29 по кругу:
1, 11, 10, 20, 21, 12, 2, 22, 23, 3, 13, 14, 4, 24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 8, 28, 29, 9, 19.




Задача 2.


В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D).
Точка F - середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC.
Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.


Решение:

Обозначим  ∠ BDA через
.


Тогда
,

(AB = AD),

.


Точки E и F равноудалены от точек B и C,
поэтому FE - серединный перпендикуляр к отрезку BC, следовательно,

.

Итак, ,

т.е. точки B, F, D, E - на одной окружности.




Задача 3.


Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.

Известно, что

.


Докажите, что для любого натурального k выполнено неравенство





Решение:

Если abc = 1, то неравенства


и (a – 1)(b – 1)(c – 1) ≤ 0 равносильны.

Действительно, из того, что

,

,



и abc – 1 = 0 следует, что они оба равносильны неравенству bc + ca + ab ≥ a + b + c.
Кроме того, числа t – 1 и tk – 1 имеют при k > 0 одинаковый знак.
Поэтому

.



Задача 4.


Лабиринт представляет собой квадрат 8 × 8, в каждой клетке 1 × 1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево).
Верхняя сторона правой верхней клетки - выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой.
После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90 по часовой стрелке.
Если фишка должна сделать ход

сквозь стенку квадрата, она остаётся на месте, но стрелка по-прежнему поворачивается на 90 по часовой стрелке.
Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.


Решение:

Предположим, что фишка никогда не выйдет из лабиринта.
Тогда на клетку с номером 1 фишка попадёт конечное число раз (менее 4), т.к. в противном случае, когда стрелка покажет на выход, фишка из лабиринта уйдёт.
Аналогично получаем, что после того, как фишка в последний раз побывает на поле <<1>>, она конечное число раз побывает на полях с номером <<2>>.
Продолжая рассуждения получаем, что на поле с номером k, 1 ≤ k ≤ 14 она конечное число раз побывает на поле с номером k + 1.
Значит, на каждом поле фишка побывает конечное число раз, что противоречит неограниченности числа ходов.
Следовательно, фишка должна выйти из лабиринта.




Задача 5.


Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида ,

все цвета различны.




Докажите, что и в любой фигуре вида

все цвета различны.


Решение:

Предположим, что в некоторой фигуре 1 × 5 отсутствует некоторый цвет, например, синий (на рисунке эта фигура выделена).
Тогда в каждой паре клеток, обозначенных одинаковыми буквами, присутствует синий цвет (в противном случае его не будет в одной из крестообразных фигур, включающих эти пары клеток).
Но тогда одна из двух крестообразных фигур, включающих клетки, обозначенные буквами a и c, содержит 2 клетки синего цвета. Противоречие.




Задача 6.


Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.
(Каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)


Решение:

Если данное число n - чётно, т.е. n = 2m, то искомыми числами будут k = 4m и l = 2m.

Пусть n - нечётно, p1, … ,ps - его простые делители и p - наименьшее нечетное простое число, не входящее во множество p1, … ,ps.
Тогда искомыми будут числа k = pn и l = (p – 1)n, так как, в силу выбора p, число p – 1 имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел p1, … ,ps.





Олимпиада по математике:

Олимпиада по математике 1 класс
Олимпиада по математике 2 класс
Олимпиада по математике 3 класс
Олимпиады 4 класс    |   2 вариант
Олимпиады 5 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 6 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 7 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 8 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 9 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 10 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант
Олимпиады 11 класс
       1 вариант   |   2 вариант   |   3 вариант


Задачи по математике:

Математика   1 класс
Математика   2 класс
Математика   3 класс
Математика   4 класс
Математика   5 класс
Математика   6 класс
Математика   7 класс
Математика   8 класс
Математика   9 класс
Математика   10 класс


Задачи с решением:

Задачи 6 кл. с решением
Задачи 7 кл. с решением
Задачи 8 кл. с решением
Задачи 9 кл. с решением
Задачи 10 кл. с решением
Задачи 11 кл. с решением
Трудные задачи младшие классы
Сложные задачи старшие классы


Контрольные работы:

1 класс:             №1    №2    №3
2 класс:             №1    №2    №3
3 класс:             №1    №2    №3
4 класс:             №1    №2    №3
5 класс:             №1    №2    №3
6 класс:             №1    №2    №3
7 класс:             №1    №2    №3
8 класс:             №1    №2    №3


Математика. Графики функций:

Графики функций
Линейная
Квадратичная
Степенная
Показательная
Логарифмическая
Тригонометрическая


Будь в числе первых!
Открытая группа:
Решение школьных олимпиад.
Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.




Олимпиадные задания по математике с решением и ответами

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^