Единый Государственный Экзамен
         Математика       Задания части С ЕГЭ по математике на портале 4egena100

№15 ЕГЭ по математике.      Выполнение задания №15 ЕГЭ по математике


Выполнение задания №15 ЕГЭ по математике. Задания, решение, ответы





Математика задание №15 ЕГЭ.

Примеры решения задания №15 ЕГЭ по математике.

Задание № 1.

Решить неравенство:

(log(5(x + 8)) (14)) / (log(5(x + 8)) (x2 - 25)) ≥ (log2(x2 + 9x + 14)) / (log2(x2 - 25))

Решение:

ОДЗ: система

1. x2 - 25 > 0
2. x2 + 9x + 14 > 0
3. 5(x + 8) ≠ 1
4. x2 - 25 ≠ 1 (в противном случае логарифмы в знаменателях обращаются в ноль)

1. ( - бесконечность; - 5) U (5; + бесконечность)
2. ( - бесконечность; - 7) U ( - 2; + бесконечность)
3. x ≠ - 8
4. x ≠ - sqrt(26), x ≠ sqrt(26)

Всё вместе:

( - бесконечность; - 8) U ( - 8; - 7) U (5;sqrt(26)) U (sqrt(26); + бесконечность)

Теперь решаем само неравенство.
Слева и справа в числителе и в знаменателе у логарифмов одинаковые основания, поэтому неравенство можно записать:

log(x2 - 25)(14) >= log(x2 - 25)(x2 + 9x + 14)

а) Если x2 - 25 > 1, т.е. |x| > sqrt(26):
14 ≥ x2 + 9x + 14
x(x + 9) ≤ 0
x принадлежит отрезку [ - 9;0], что в сочетании условием |x| > sqrt(26) даёт полуинтервал [ - 9; - sqrt(26))

б) Если 0 < x2 - 25 < 1, т.е. 5 < |x| < sqrt(26):
14 ≤ x2 + 9x + 14
x(x + 9) ≥ 0
x принадлежит ( - бесконечность; - 9] и [0; + бесконечность], что в сочетании условием 5 < |x| < sqrt(26) даёт интервал (5; sqrt(26))

Объединяем ОДЗ с обоими решениями, получаем

[ - 9; - 8) U ( - 8; - 7) U (5;sqrt(26))

Ответ:

[ - 9; - 8) U ( - 8; - 7) U (5;sqrt(26))




№15 ЕГЭ по математике. Задание № 2.

Условие:

Найдите все значения x, при каждом из которых выражения
3 • (x2) • log_3(2 + 3x) - 6 • x • log_(1/3)((2 + 3x)^(1/3)) и
3 • x2 + 2x
принимают равные значения.

Решение:

Для начала разберёмся с ОДЗ:
2 + 3x > 0, x > - 2/3

Теперь упростим первое выражение:
3 • (x2) • log_3(2 + 3x) - 6 • x • ( - 1) • (1/3) • log_3(2 + 3x) =
= (3 • x2 + 2x) • log_3(2 + 3x)

Приравняем первое и второе выражения:
(3 • x2 + 2x) = (3 • x2 + 2x) • log_3(2 + 3x)
x • (2 + 3x) • (1 - log_3(2 + 3x)) = 0

x = 0, либо
2 + 3x = 0, x = - 2/3 (это не входит в ОДЗ), либо
log_3(2 + 3x) = 1
2 + 3x = 3
x = 1/3

Ответ:

0 и 1/3




№15 ЕГЭ по математике. Задание № 3.

Найдите число решений системы уравнений:

{(xy)1,5 + 1 = xy0,5 + yx0,5
y2 + 100 = 10y(2x + 2 - x).

Решение.

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую часть(xy)1,5 + 1 - xy0,5 - yx0,5 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители, группировав слагаемые следующим образом:
((xy)1,5 - xy0,5) - (yx0,5 - 1) = 0;
xy0,5(yx0,5 - 1) - (yx0,5 - 1) = 0;
(yx0,5 - 1)(xy0,5 - 1) = 0;
yx0,5 - 1 = 0 или xy0,5 - 1 = 0;
yx0,5 = 1 или xy0,5 = 1; xy2 = 1 или yx2 = 1, при условии, что х и у - неотрицательны.

Теперь займёмся вторым уравнением данной системы. Оно сводится к квадратному относительно переменной у. y2 - 10y(2x + 2 - x) + 100 = 0. D = 25(2x + 2 - x)2 - 100 = 25(22x + 2 + 2 - 2x - 4) = 25(22x - 2 + 2 - 2x) = (2x - 2 - x)2.
у = 5(2x + 2 - x) ± 5((2x + 2 - x);
y = 10?2x или y = 10?2 - x.

Данная система уравнений свелась к решению четырех, более простых систем: {xy2 = 1 и y = 10?2x} или {xy2 = 1 и y = 10?2 - x} или {yx2 = 1 и y = 10?2x} или {yx2 = 1 и y = 10?2 - x}.
Нам не нужны точные решения этих систем, а нужно только определить их общее количество. Такая задача называется качественной.

Рассмотрим первую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10?2x}. Подставим значение у из второго уравнения в первое уравнение. 100х?х22x = 1 или 100х?22x - 1 = 0.

Существует два метода определения количества решений уравнения: аналитический и графический. Мы будем использовать тот или иной способ в зависимости от конкретной ситуации. Левая часть уравнения 100х?22x - 1 = 0 является возрастающей функцией f(x) = 100х?22x - 1 при х > 0. Значит, это уравнение либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень.

Очевидно, что при х = 0 f(x) < 0, а при х = 1 f(x) > 0. Значит, на промежутке (0,000001; 1) уравнение имеет корень, и, он единственный. Итак, мы установили, что первая система имеет единственное решение.

Рассмотрим теперь вторую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10?2 - x}. Точно также, подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение получим 100х?2 - 2x = 1 или 100х?2 - 2x - 1 = 0. Здесь применение передыдущего способа проблематично. Попытаемся применить графический метод. построить график функции f(х) = 100х?2 - 2x - 1, наверное можно, но трудно и долго. Поэтому постараемся преобразовать уравнение 100х?2 - 2x - 1 = 0 так, чтобы нужные графики можно было построить легко и быстро. 100х?2 - 2x = 1, 100х = 22x. Попытаемся построить графики функций у = 100х и у = 22x. Получим примерно такую картинку . Из полученной картинки трудно быстро установить одна или две общие точки у этих кривых. Нужны дополнительные исследования, а времени для этого на экзамене крайне мало.

Выход из возникшей ситуации таков: ещё раз преобразуем уравнение 100х = 22x (х > 0), например, так 10vх = 2x. Построим графики функций у = 10vх и у = 2x. Получим следующую картинку. Даже эскизный рисунок по точкам показывает, что эти графики имеют две общие точки.

Итак, вторая система уравнений имеет два решения.

Исследуем третью систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10?2x}. Как и раньше, подствив значение у из второго уравнения получим 10x2?2x = 1. Как и в первом случае это уравнение имеет единственное решение (убедитесь в этом самостоятельно).

И, наконец, рассмотрим последнюю систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10?2 - x}, из который следует, что 10x2?2 - x = 1, или 10x2 = 2x. Графики функций у = 10x2 и у = 2x изображены на третьем рисунке. Как видно, это уравнение имеет один корень (отрицательный корень нам не подходит, так как х > 0).

Таким образом, данная в исходном задании система уравнений имеет 1 + 2 + 1 + 1 = 5 решений.

Ответ: 5.




№15 ЕГЭ по математике. Задание № 4.






     Продолжить решение №15 по математике                       Главная страница


Математика ЕГЭ 2017:

Базовый уровень ЕГЭ 2017
Профильный уровень ЕГЭ 2017
Базовый уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)
Профильный уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)

Тренировочные работы по математике
Пробные работы ЕГЭ по математике

Базовый уровень (с ответами)

Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Профильный уровень (с ответами)
Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Примеры заданий и их решения.
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19
















Задание №15 ЕГЭ по математике с решением и ответами

Выполнение задания №15 ЕГЭ по математике. Задания, решение, ответы

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^