Единый Государственный Экзамен
         Математика       Задания части С ЕГЭ по математике на портале 4egena100

ЕГЭ по математике.      Выполнение задания №19 ЕГЭ по математике


Выполнение задания №19 ЕГЭ по математике. Задания, решение, ответы





Математика задание №19 ЕГЭ.


Пример решения задания №19 ЕГЭ по математике

Условие:
Найдите все натуральные числа, не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение:
Каждое натуральное число может быть либо четным (2 • k), либо нечетным (2 • k + 1).

1. Если число нечетное:
n = 2 • k + 1 = (k) + (k + 1). Числа k и k + 1 всегда взаимно простые

(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x - y| тоже должно делиться на d. (k + 1) - (k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)

То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2 + 1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.

2. Если число четное:
n = 2 • k
Тут придется рассмотреть два случая:

2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2 • m.
Тогда n = 4 • m = (2 • m + 1) + (2 • m - 1).
Числа (2 • m + 1) и (2 • m - 1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2 • m + 1) - (2 • m - 1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2 • m + 1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.

Так мы доказали, что все числа вида 4 • m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение - число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1 + 3, но единица в качестве слагаемого нам по - прежнему не подходит.

2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2 • m - 1.
Тогда n = 2 • (2 • m - 1) = 4 • m - 2 = (2 • m - 3) + (2 • m + 1)
Числа (2 • m - 3) и (2 • m + 1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2 • m + 1) - число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.

Так мы доказали, что все числа вида 4 • m - 2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.

Ответ: 1,2,3,4,6



Пример решения задания №19 ЕГЭ по математике

Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел n, таких, что первая и последняя цифры числа n2 равны 1

Решение:
Последняя цифра квадрата - 1, значит последняя цифра самого числа - 9 либо 1.

100<=n<=999
10000<=n2<999999

Если n2 пятизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
10000<=n2<=19999
100<=n<=141 => 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141

Если n2 шестизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
100000<=n2<=199999
316<n<448
319,441 и пары 32x, 33x, 34x, 35x, 36x, 37x, 38x, 39x, 40x, 41x, 42x, 43x, где x - 1,9. Сумма каждой пары даст 650, 670, ... , 870

Суммируем парами: 210 + 230 + 250 + 270 + 141=(по арифм. прогрессии)=141 + 960=1101
319 + 441 + 650 + ... + 870=319 + 441 + (650 + 870)/2 • 12=9120 + 319 + 441=9120 + 760=9880

Итого: 9880 + 1101=10981

Ответ: 10981



Пример решения задания №19 ЕГЭ по математике

Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

Решение.

Здесь невозможно ограничиться одним простым делителем кратности k = 15 — 1, поскольку по условию должны быть, по меньшей мере, два простых делителя — 2 и 5.
Если ограничиться выбором только этих двух делителей, их кратности в искомых числах дает формула
p = ( m + 1)( n + 1), где p — количество делителей числа, равное 15, m и n — кратности простых делителей.
( m + 1)( n + 1) = 15; m= 2, n= 4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям).
Существуют два числа, удовлетворяющие условию: N1 = 22×
54 = 2500;
N2 = 24×52 = 400.


Ответ: 2500 и 400.




Пример решения задания №19 ЕГЭ по математике

Найдите все натуральные числа,
не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение:

Каждое натуральное число может быть либо четным (2 • k), либо нечетным (2 • k + 1).

1. Если число нечетное:
n = 2 • k + 1 = (k) + (k + 1). Числа k и k + 1 всегда взаимно простые

(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x - y| тоже должно делиться на d. (k + 1) - (k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)

То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2 + 1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.

2. Если число четное:
n = 2 • k
Тут придется рассмотреть два случая:

2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2 • m.
Тогда n = 4 • m = (2 • m + 1) + (2 • m - 1).
Числа (2 • m + 1) и (2 • m - 1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2 • m + 1) - (2 • m - 1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2 • m + 1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.

Так мы доказали, что все числа вида 4 • m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение - число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1 + 3, но единица в качестве слагаемого нам по - прежнему не подходит.

2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2 • m - 1.
Тогда n = 2 • (2 • m - 1) = 4 • m - 2 = (2 • m - 3) + (2 • m + 1)
Числа (2 • m - 3) и (2 • m + 1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2 • m + 1) - число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.

Так мы доказали, что все числа вида 4 • m - 2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.

Ответ:     1,2,3,4,6



Пример решения задания №19 ЕГЭ по математике

Число p равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число p?

Решение:

Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1) • (p2^k2) • ... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
15 = (31) • (51)
72 = 8 • 9 = (23) • (32)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1 + 1) • (k2 + 1) • ...

Итак, по условию, p = N1 • N2 • ... • N11, где
N1 = (p1^k[1,1]) • (p2^k[1,2]) • ...
N2 = (p1^k[2,1]) • (p2^k[2,2]) • ...
...,
а это значит, что
p = (p1^(k[1,1] + k[2,1] + ... + k[11,1])) • (p2^(k[1,2] + k[2,2] + ... + k[11,2])) • ...,

и общее количество натуральных делителей числа p равно

(k[1,1] + k[2,1] + ... + k[11,1] + 1) • (k[1,2] + k[2,2] + ... + k[11,2] + 1) • ...

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p2, ... N11 = p11.

То есть, например,
N1 = 21 = 2,
N2 = 22 = 4,
N3 = 23 = 8,
...
N11 = 211 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа p равно
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

Ответ:     67




         Главная страница

Математика ЕГЭ 2017:

Базовый уровень ЕГЭ 2017
Профильный уровень ЕГЭ 2017
Базовый уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)
Профильный уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)

Тренировочные работы по математике
Пробные работы ЕГЭ по математике

Базовый уровень (с ответами)

Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Профильный уровень (с ответами)
Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Примеры заданий и их решения.
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19
















Задание №19 ЕГЭ по математике с решением и ответами

Выполнение задания №19 ЕГЭ по математике. Задания, решение, ответы

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^