Единый Государственный Экзамен
         Варианты заданий ЕГЭ по математике       ЕГЭ по математике задания решения ответы на портале 4egena100

Варианты заданий ЕГЭ по математике


Варианты заданий ЕГЭ по математике. Примеры заданий с решением и ответами.




Варианты заданий ЕГЭ по математике

Задачи (С1 – С4) задачи повышенного уровня сложности.
Задачи (С5 и С6) высокого уровня сложности.
Последние две задачи высокого уровня сложности С5 и С6.


Задание C4


Хорда окружности, описанной вокруг треугольника

Условие:

Радиус окружности, описанной около ∆ АВС, равен 13, Cos ВАС = - 5/13.
Высота, проведённая к стороне ВС, равна 5.
Найдите длину той хорды АМ описанной окружности, которая делится пополам стороной ВС.

Решение:



1. Во - первых, найдем BC. Как известно, угол, вписанный в окружность, опирается на вдвое большую дугу.
Обозначим угол BAC за "альфа" (его косинус мы знаем).
Тогда дуга BC (большая) равна 2альфа, а угол BOC, соответственно, 2пи - 2альфа.

Хорда BC = 2R • sin(BOC/2) = 2 • R • sin(пи - альфа) = 2 • R • sin(альфа) = 2 • R • sqrt(1 - (5/13)2) = 2 • 13 • 12/13 = 24.

2. Из прямоугольного треугольника BKO находим KO = sqrt(132 - 122) = 5

3. Теперь нам пора заметить, что у нас опять два случая. Как обычно, обозначим их красным и синим.
Рассмотрим красный, а синий получится сам собой.

4. Из точки D отложим отрезок Dp, параллельный и равный AT = 5. KO = Dp, оба они перпендикулярны BC...
Точки M, O и p лежат на диаметре, параллельном BC, а треугольники ADT и DMp равны.

5. Рассмотрим прямоугольные треугольники ODM и ATD. Углы ADT и OMD равны, а значит,
эти треугольники подобны (по двум углам).
Можем составить пропорцию:

OM/DM = AD/TD. Кстати, обозначим DM за x (То есть, в окончательном ответе нам нужно будет указать 2x).
Итак, 13/x = x/TD.

В свою очередь, TD найдем из треугольника ATD:
TD = sqrt(x2 - 25)

Итак, вот и получилось уравнение:
13/x = x/sqrt(x2 - 25)
Оно сводится к биквадратному
x^4 - 169 • x2 + 4225 = 0

У него есть два положительных корня:
x1 = sqrt(13/2 • (13 + sqrt(69))) (это для "красного" случая)
x2 = sqrt(13/2 • (13 - sqrt(69))) (это для "синего" случая)

Надо ещё умножить на два.

Ответ:

2 • sqrt(13/2 • (13 + sqrt(69))), 2 • sqrt(13/2 • (13 - sqrt(69)))


Задание C4


Трапеция

Условие:

Трапеция ABCD
Площадь её = 90
AD = 2BC
p - середина AD
Диагонали пересекаются в точке О и также пересекают отрезки pB и pC в точках М и N.
Найти площадь OMNp

Решение:

ABCp и pBCD - параллелограммы с одинаковыми основаниями и высотами, точки M и N - точки пересечения их диагоналей.
Это значит, что MN параллельно BC. Это вроде бы очевидно, но тем не менее.
И из этих же соображений мы в два счета доказываем, что MN = BC/2

Четырехугольник OMNp состоит из треугольников OMN и pMN с общим основанием MN.
Значит, его площадь равна сумме их площадей и равна MN, помноженной на сумму высот этих треугольников пополам.
А сумма их высот - это расстояние от точки O до AD.

Мы знаем, что треугольники AOD и COB подобны (по трем углам), а BC и AD относятся как 1:2.
Значит, и высоты этих треугольников относятся как 1:2, и получается, что расстояние от O до AD равно 2/3 высоты трапеции.

То есть, если известная нам площадь трапеции равна
S = h • (AD + BC)/2 = 3/2 • h • BC,
то искомая площадь четырехугольника равна

(2/3 • h) • (BC/2)/2 = h • BC/6 = S/9 = 10

Ответ:    10


Решение С4 ЕГЭ по математике.



Дан угол ABC, равный 30о. На его стороне BA взята точка Dтакая, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A, D



Решение:

Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой p середину AD, буквой Q - основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E - точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра. Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.

ЕГЭ по математике

Из прямоугольного треугольника BpE с катетом Bp = 2 и углом B = 30o находим, что 

  

Так как OA = R и Ap = 1, получим:

и, следовательно, 

 

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E = 60o, находим:

 

Таким образом, получаем следующее уравнение для R:

 

Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.

 

Решив данное уравнение, получим R1 = 1, R2 = 7.



Ответ. 1 или 7.






Решение С4 ЕГЭ по математике. Задача №2.




Решение ЕГЭ по математике

Базовый уровень егэ по математике
Профильный уровень егэ
Базовый уровень - формат pdf
Профильный уровень - формат pdf
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19

Решение    В 1 - В 7
Решение    В 8 - В 14
Решение   С 1    Решение   С 2
Решение   С 3    Решение   С 4
Решение   С 5    Решение   С 6








Варианты заданий ЕГЭ по математике с решением и ответами

ЕГЭ по математике. Примеры заданий с подробным решением всех заданий и ответами.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^