Единый Государственный Экзамен
         Задания профильного уровня ЕГЭ по математике       Задания решения ответы на портале 4egena100

Задания профильного уровня ЕГЭ по математике


Задания профильного уровня ЕГЭ по математике. Примеры заданий с решением и ответами.




Задания профильного уровня ЕГЭ по математике

Задачи (С1 – С4) задачи повышенного уровня сложности.
Задачи (С5 и С6) высокого уровня сложности.
Последние две задачи высокого уровня сложности С5 и С6
предназначены для поступления в вузы.


Задание C5


Найти все значения параметра a.

Условие:

Найдите все значения a, при каждом из которых оба числа 3sina + 5 и 9cos2a - 36sina - 18 являются решением неравенства в числителе (25x - 3x2 + 18) • sqrt(x - 1), в знаменателе log(модуль(x - 7)) - 1 осн.4 > = 0

Решение:

Ну, насколько я понял, неравенство вот такое:
(25x - 3x2 + 18) • sqrt(x - 1)/(log_4(|x - 7|) - 1) > = 0,
т.е. в знаменателе (логарифм по основанию 4 от |x - 7|) - 1.

1. Итак, для начала решим неравенство.
1.1. В числителе есть корень, значит, x> = 1
1.2. Квадратный двучлен в числителе раскладывается на - 3(x + 2/3)(x - 9)
1.3. Разберемся со знаменателем.
1.3.1. Заметим, что x не может быть равен 7
1.3.2. Решим неравенство log_4(|x - 7|) - 1>0
|x - 7| > 4 = > x < 3 или x > 11
Поскольку мы решаем неравенство, и для нас важен только знак, то можно считать, что знаменатель ведет себя точно также, как (x - 3)(x - 11) (но только не надо забывать, что точку x = 7 нужно "выколоть").

1.4. Итак, наше неравенство можно представить как систему:
x> = 1
x не равен 7
- 3(x + 2/3)(x - 9)/((x - 3)(x - 11)) > = 0

Методом интервалов получим решение:
x принадлежит [1;3) и [9;11)

2. Теперь посмотрим на выражение 3sin(a) + 5.
Поскольку значения синуса лежат внутри отрезка [ - 1;1], то это выражение может принимать значения в пределах отрезка [2;8].
То есть во второй полуинтервал из решения неравенства оно точно не попадает, а в первый попадает, если оно меньше 3, т.е.
3 • sin(a) + 5 < 3
sin(a) < - 2/3
Итак, sin(a) может лежать в полуинтервале [ - 1; - 2/3)

3. Осталось разобрать последнее условие - что 9cos2a - 36sina - 18 тоже является решением неравенства.
cos(2a) = 1 - 2sin2(a) = > выражение превращается в
9(1 - 2sin2(a)) - 36sin(a) - 18 = - 18sin2(a) - 36sin(a) - 9

заменим sin(a) на t и посмотрим, как ведёт себя функция y(t) = - 18t2 - 36t - 9
на уже найденном полуинтервале [ - 1; - 2/3).
y'(t) = - 36t - 36
единственный экстремум - в точке - 1, и это максимум. Следовательно, функция на рассматриваемом полуинтервале всюду убывает.
y( - 1) = 9
y( - 2/3) = 7

Это значит, что наше второе выражение является решением неравенства только в том случае, если оно равно 9, т.е. когда sin(a) = - 1

Так что ответ -
a = - пи/2 + 2пи • n

Ответ:

- пи/2 + 2пи • n

Задание C5


Решить уравнение для всех a.

Условие:

Решить уравнение для всех a
25x + a2(a - 1)5x - a5 = 0

Решение:

1. Делаем замену t = 5x, получаем квадратное уравнение относительно t:
t2 + a2 • (a - 1) • t - a5 = 0

2. Дискриминант:
D = a4 • (a - 1)2 + 4 • a5 = a4 • (a2 - 2 • a + 1 + 4a) = a4 • (a2 + 2a + 1) =
= a4 • (a + 1)2 = (a2 • (a + 1))2, всегда больше или равен нулю.

3. Решения относительно t:
t1 = ( - a2 • (a - 1) - a2 • (a + 1))/2 = - a2 • (a - 1 + a + 1)/2 = - a3
t2 = ( - a2 • (a - 1) + a2 • (a + 1))/2 = - a2 • (a - 1 - a - 1)/2 = a2

4. Вернемся к первоначальной замене:
5x = t
Значение показательной функции может быть только строго положительным.

Решение 5x = - a3 имеет место при
- a3 > 0
a3 < 0
a < 0.
И в этом случае x = log5( - a3)

Решение 5x = a2 имеет место при
a2 > 0
a не равно 0.
И в этом случае x = log5(a2)

Ответ:

a < 0: x = log5( - a3), x = log5(a2);
a = 0: ∅;
a > 0: x = log5(a2)



Задание C5



Задача: Найти все значения параметра , при которых уравнение

 

имеет хотя бы один корень.



Решение:

Запишем уравнение в следующем виде: 

.

Функция непрерывна и

1) неограниченно возрастает при , так как при любом раскрытии модулей будем иметь:

 

где  

2) убывает при , так как при любом раскрытии модулей будем иметь:

 

где  .

Следовательно, свое наименьшее значения функция  примет при , а уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда

.

Решим это неравенство:

 

Ответ. .




Решение ЕГЭ по математике

Базовый уровень егэ по математике
Профильный уровень егэ
Базовый уровень - формат pdf
Профильный уровень - формат pdf
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19

Решение    В 1 - В 7
Решение    В 8 - В 14
Решение   С 1    Решение   С 2
Решение   С 3    Решение   С 4
Решение   С 5    Решение   С 6








Задания профильного уровня ЕГЭ по математике с решением и ответами

ЕГЭ по математике. Примеры заданий с подробным решением всех заданий и ответами.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^