Единый Государственный Экзамен
         Решение ЕГЭ по математике профильный уровень       Задания решения ответы на портале 4egena100

Решение ЕГЭ по математике профильный уровень


Решение ЕГЭ по математике профильный уровень. Примеры заданий с решением и ответами.




Решение ЕГЭ по математике профильный уровень

Задачи (С1 – С4) задачи повышенного уровня сложности.
Задачи (С5 и С6) высокого уровня сложности.
Последние две задачи высокого уровня сложности С5 и С6.


Задание C6


Найдите все натуральные числа.

Условие:

Найдите все натуральные числа, не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение:

Каждое натуральное число может быть либо четным (2 • k), либо нечетным (2 • k + 1).

1. Если число нечетное:
n = 2 • k + 1 = (k) + (k + 1). Числа k и k + 1 всегда взаимно простые

(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x - y| тоже должно делиться на d. (k + 1) - (k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d = 1, а это и есть доказательство взаимной простоты)

То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2 + 1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.

2. Если число четное:
n = 2 • k
Тут придется рассмотреть два случая:

2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2 • m.
Тогда n = 4 • m = (2 • m + 1) + (2 • m - 1).
Числа (2 • m + 1) и (2 • m - 1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2 • m + 1) - (2 • m - 1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2 • m + 1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.

Так мы доказали, что все числа вида 4 • m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение - число 4 (m = 1), которое хотя и может быть представлено в виде 1 + 3, но единица в качестве слагаемого нам по - прежнему не подходит.

2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2 • m - 1.
Тогда n = 2 • (2 • m - 1) = 4 • m - 2 = (2 • m - 3) + (2 • m + 1)
Числа (2 • m - 3) и (2 • m + 1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2 • m + 1) - число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.

Так мы доказали, что все числа вида 4 • m - 2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения - числа 2 (m = 1) и 6 (m = 2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.

Ответ:

1,2,3,4,6


Задание C6


Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел...

Условие:

Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел n, таких, что первая и последняя цифры числа n2 равны 1

Решение:

Последняя цифра квадрата - 1, значит последняя цифра самого числа - 9 либо 1.

100< = n< = 999
10000< = n2<999999

Если n2 пятизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
10000< = n2< = 19999
100< = n< = 141 = > 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141

Если n2 шестизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
100000< = n2< = 199999
316<n<448
319,441 и пары 32x, 33x, 34x, 35x, 36x, 37x, 38x, 39x, 40x, 41x, 42x, 43x, где x - 1,9. Сумма каждой пары даст 650, 670, ... , 870

Суммируем парами: 210 + 230 + 250 + 270 + 141 = (по арифм. прогрессии) = 141 + 960 = 1101
319 + 441 + 650 + ... + 870 = 319 + 441 + (650 + 870)/2 • 12 = 9120 + 319 + 441 = 9120 + 760 = 9880

Итого: 9880 + 1101 = 10981

Ответ:

10981



Задание C6



Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).


Решение.

Здесь невозможно ограничиться одним простым делителем кратности k = 15 — 1 (см. вар. 10), поскольку по условию должны быть, по меньшей мере, два простых делителя — 2 и 5.
Если ограничиться выбором только этих двух делителей, их кратности в искомых числах дает формула
p =  (m + 1)(n + 1), где p — количество делителей числа, равное 15,
m
и
n — кратности простых делителей. (m + 1)(n + 1) = 15; m = 2, n = 4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям).
Существуют два числа, удовлетворяющие условию:
N1 = 22×
54 = 2500;
N2 = 24×52 = 400.


Ответ.       2500 и 400.




Задание C6



Решите уравнение 3m + 4n = 5k в натуральных числах.


Решение.

Левая часть уравнения при любых натуральных m и n при делении на 3 даёт остаток 1, следовательно, такой же остаток при делении на 3 должен быть и у 5k,
откуда следует, что
k чётное. Пусть k = 2r, r — натуральное число.

Правая часть уравнения при любом натуральном k при делении на 4 даёт остаток 1, следовательно, такой же остаток при делении на 4 должен быть и у 3m,
откуда следует, что
m чётное. Пусть m = 2s, s — натуральное число.

Перепишем исходное уравнение в виде
32
s + 4n = 52r
, или в виде
22n = (5
r – 3s)(5r + 3s).

Тогда
5
r – 3s = 2q и 5r + 3s = 2l, где q и l — целые неотрицательные числа и q + l = 2n.

Таким образом,

5r = (2q + 2l):2, 3s = (2l – 2q):2 = 2l – 1 – 2q – 1.

Число 3s — нечётное, значит, 2l – 1 – 2q – 1 нечётно, поэтому q = 1 и 3s = 2l – 1 – 1. Следовательно, число l – 1 чётно, l – 1 = 2p (иначе левая часть не делится на 3).
Тогда 3
s = (2p – 1)(2p + 1) — произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки.

Ясно, что эти множители 1 и 3, тогда p = 1,
s = 1, m = 2s = 2.
Далее последовательно получаем: l = 2p + 1 = 3, 5r = (2q + 2l):2 = 5, r = 1, k = 2r =2, q + l = 2n = 4. Итак, m = n = k = 2.



Ответ.       m = 2, n = 2, k = 2.




Решение ЕГЭ по математике

Базовый уровень егэ по математике
Профильный уровень егэ
Базовый уровень - формат pdf
Профильный уровень - формат pdf
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19

Решение    В 1 - В 7
Решение    В 8 - В 14
Решение   С 1    Решение   С 2
Решение   С 3    Решение   С 4
Решение   С 5    Решение   С 6








Решение ЕГЭ по математике профильный уровень

ЕГЭ по математике. Примеры заданий с подробным решением всех заданий и ответами.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^