Единый Государственный Экзамен
         ЕГЭ по математике       Примеры решения ответы на портале 4egena100

Решение С3 ЕГЭ по математике


Решение задания С3 ЕГЭ по математике. Примеры заданий, решение, ответы




Решение С3 ЕГЭ по математике.

Задание С3 соответствует заданию №15 профильного уровня.

C3 ЕГЭ по математике.      Логарифмическое неравенство:


Решить неравенство:
log|x|(√(9 - х2) - x - 1) ≥ 1

Решение:

Сперва найдём ОДЗ.

1.1) Условие на основание логарифма:
|x| > 0 => x <> 0 (здесь и дальше "<>" значит "не равно")
1.2) Условие на основание логарифма:
|x| <> 1 => x <> - 1, x <> 1
1.3) Условие на выражение под знаком квадратного корня:
9 - x2 >= 0 => (3 - x)(3 + x) >= 0 => x принадлежит [ - 3;3]
1.4) Условие на выражение под знаком логарифма:
sqrt(9 - x2) - x - 1 > 0
sqrt(9 - x2) > x + 1 =>
1.4.1) либо (x + 1) < 0 => x < - 1
1.4.2) либо система
{9 - x2 > (x + 1)2, x >= - 1}
Решая первое неравенство системы, получим
x принадлежит ( ( - 1 - sqrt(17))/2; ( - 1 + sqrt(17))/2 ).
Поскольку sqrt(17) - это примерно sqrt(16)=4, то
( - 1 - sqrt(17))/2 примерно равно - 2.5
( - 1 + sqrt(17))/2 примерно равно 1.5
Итак, в (1.4.2) у нас получается:
x принадлежит [ - 1; - 1 + sqrt(17))/2 )

Объединяя все условия из (1.3) и (1.4), имеем:
x принадлежит [ - 3 ; (sqrt(17) - 1)/2 )

Объединив это с (1.1) и (1.2), имеем полное ОДЗ:
[ - 3; - 1) U ( - 1;0) U (0;1) U (1; (sqrt(17) - 1)/2)

Теперь, собственно, само неравенство.
В зависимости от значения x у нас будет тут четыре случая:

2.1) x < - 1 => abs(x) = - x > 1
log_( - x)(sqrt(9 - x2) - x - 1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при потенциировании неравенство знак не меняет:

sqrt(9 - x2) - x - 1 >= - x
9 - x2 >= 1
x2 <= 8
x принадлежит [ - 2sqrt(2); 2sqrt(2)]
(sqrt(2) - это примерно 1.4, следовательно, 2sqrt(2) = примерно 2.8)
Итого в (2.1) имеем:
x принадлежит [ - 2sqrt(2); - 1)

2.2) - 1 < x < 0 => abs(x) = - x < 1
log_( - x)(sqrt(9 - x2) - x - 1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании неравенство меняет знак:
sqrt(9 - x2) - x - 1 <= - x
x2 >= 8
x принадлежит ( - бесконечность; - 2sqrt(2)] U [2sqrt(2); бесконечность).
С условием - 1 < x < 0 это не пересекается, значит, в случае (2.2) решений нет.

2.3) 0 < x < 1 => abs(x) = x < 1
log_(x)(sqrt(9 - x2) - x - 1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании неравенство меняет знак:
sqrt(9 - x2) - x - 1 <= x
В общем, решается это примерно также, как (1.4). Получится
2(sqrt(11) - 1)/5 <= x <= 3

Тут нам важно понять, 2(sqrt(11) - 1)/5 больше или меньше 1.
Решение в случае (2.3) будет только если
2(sqrt(11) - 1)/5 < 1 => sqrt(11) < 3.5.
3.52 = 12.25 > 11, то есть в случае (2.3) мы всё - таки будем иметь решение
[2(sqrt(11) - 1)/5; 1)

2.4) x > 1 => abs(x) = x > 1
log_(x)(sqrt(9 - x2) - x - 1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при потенциировании неравенство знак не меняет:
sqrt(9 - x2) - x - 1 >= x
Такое же неравенство, но с обратным знаком, мы уже только что решили, и выяснили, что больший корень меньше единицы. Следовательно, тут решений нет.

Итак, из (2.1) и (2.3) имеем:
x принадлежит [ - 2sqrt(2); - 1) U [2(sqrt(11) - 1)/5; 1)

А вот, для наглядности, как это всё выглядит:




     Продолжить решение С3 по математике                       Главная страница


Математика ЕГЭ 2017:

Базовый уровень ЕГЭ 2017
Профильный уровень ЕГЭ 2017
Базовый уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)
Профильный уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)

Тренировочные работы по математике
Пробные работы ЕГЭ по математике

Базовый уровень (с ответами)

Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Профильный уровень (с ответами)
Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Примеры заданий и их решения.
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19
















Решение С3 ЕГЭ по математике

Выполнение задания С3 ЕГЭ по математике. Задания, решение, ответы

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^