Единый Государственный Экзамен
         ЕГЭ по математике       Примеры решения ответы на портале 4egena100

Решение С4 ЕГЭ по математике


Решение задания С4 ЕГЭ по математике. Примеры заданий, решение, ответы




Решение С4 ЕГЭ по математике.

Задание С4 соответствует заданию №16 профильного уровня.

Задание С4:

В угол, равный arccos(-1/9), вписана окружность радиуса 3.
Параллельно хорде, соединяющей точки касания, проведены две касательные к окружности,
в результате чего получилась трапеция. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:


Нас интересует площадь трапеции ABCD, её высота равна 2R = 6.
Осталось только найти полусумму оснований (AB + CD)/2.


Из прямоугольного треугольника OLH найдем OH:
OH = OL/sin(OHL).
Для удобства обозначим угол OHL буквой "a".

По формуле косинуса двойного угла:
cos(2a) = 1 - 2sin2(a), откуда
sin(a) = sqrt((1 - cos(2a))/2)
sin(a) = sqrt((1 + 1/9)/2) = sqrt(5)/3

Чтобы потом к этому не возвращаться,
cos(a) = sqrt(1 - 5/9) = 2/3
tg(a) = sqrt(5)/3/2 • 3 = sqrt(5)/2.

Итак, OH = OL/sin(a) = 9/sqrt(5)
Отсюда:
pH = 9/sqrt(3) - 3
QH = 9/sqrt(3) + 3

AB = 2 • pH • tg(a)
CD = 2 • QH • tg(a)

(AB + CD)/2 = 2 • 9/sqrt(5) • sqrt(5)/2 = 9

S(ABCD) = 9 • 6 = 54

Ответ:      54



Решение С4 ЕГЭ по математике.


Задание С4:

    Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пересекает его стороны в точках,
удаленных от вершины C на расстояние 14 и 48.
Найти радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Решение:

Во - первых, заметим, что, как и обычно бывает в C4, тут может быть два случая
- вторая окружность может касаться первой как изнутри (синие линии на рисунке), так и снаружи (красная линия).



Итак, AC = 14, BC = 48, угол C - прямой.
Значит, AB является диаметром первой окружности, и он равен sqrt(142 + 482) = 50.
Точка O, являясь центром окружности, делит AB пополам.
Значит, перпендикуляры, опущенные из неё к отрезкам AC и BC, тоже делят их пополам.

Пусть O1 - центр второй окружности, а R - её радиус.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OKO1 с гипотенузой OO1 и катетами, параллельными лучам угла.

В "синем" случае:
OK = 24 - R
O1K = R - 7
OO1 = 25 - R

Пишем теорему Пифагора:
(24 - R)2 + (R - 7)2 = (25 - R)2
Решаем, получаем два корня - 0 и 12. Нулевой случай нас не сильно интересует.

В "красном" случае всё то же самое, только OK = R - 24 и, что самое важное, OO1 = 25 + R.
И там, решая такое же уравнение, получим второй корень 112.


Ответ:      12, 112




     Продолжить решение С4 по математике                       Главная страница


Математика ЕГЭ 2017:

Базовый уровень ЕГЭ 2017
Профильный уровень ЕГЭ 2017
Базовый уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)
Профильный уровень ЕГЭ 2017 - (pdf)

Тренировочные работы по математике
Пробные работы ЕГЭ по математике

Базовый уровень (с ответами)

Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Профильный уровень (с ответами)
Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Примеры заданий и их решения.
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19
















Решение С4 ЕГЭ по математике

Выполнение задания С4 ЕГЭ по математике. Задания, решение, ответы

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^